در نظر گرفتن عدم قطعیت در روش های عددی و کاربرد آن در مسائل مکانیک جامدات

STUDENT

DEGREE

YEAR

In this thesis for the first time, uncertainty in numerical methods (also called error estimation) will be investigated from the viewpoint of probability theory. Interpolation, differentiation and integration processes are the main concepts in the numerical solutions of partial differential equations. Thus a detail study of these issues from the viewpoint of probability theory will create a suitable mathematical structure for numerical methods. In summary, the following issues will be addressed in this thesis: 1- A probabilistic error indicator is presented which is based on Keriging error interpolation [5] and is used for mesh smoothing purpose. This error indicator is used for adaptive mesh smoothing purposes especially in the uncoupled ALE approaches. Robustness and accuracy of the method are shown through several examples on different fields with irregular boundaries or abrupt changes. 2- Assessment of reliability of the results of numerical integration is studied by using probability theory and a new error indicator is presented. Error in the presented approach is indicated as a function of the position of integration points, the integration weights and the variation of integrand which are important parameters in ordinary numerical integration. By minimization of the presented error indicator, weights of integration and locations of integration points are obtained. This method can be applied to any desired domain in 1D, 2D and 3D space. Therefore this method can also be applied for mesh-less methods with any desired domain geometry. Robustness and consistency of the method is examined through several examples. 3- Assessment of reliability of the derivative of field is studied by using probability theory. A new error indicator for derivatives of field is introduced. Using this indicator, optimal precision gradient points or Superconvergent points can be identified in various interpolation methods. The capability and generality of the present method is shown for finite elements and also mesh-less methods. In finite element applications, this indicator is examined for Lagrange interpolation shape functions for 1 _D elements, 2_D quadrilateral and triangular elements and 2_D quadratic Serendipity element. The indicator is also verified for mesh-less methods where MLS approximation is used. The presented error indicator, using probability theory and application of the presented approach to mesh-less method are among the new aspects and main achievements of this thesis. Keywords: Integration method, Superconvergent point, mesh smoothing, error indicator, probabilistic approach, meshless method, finite element method.

طی فرمول بندی پدیده های فیزیکی، فرض قطعیت معمولاً مفروض است. در مهندسی مکانیک با کمک این ساده سازی معادلات دیفرانسیل پاره ای استخراج می شود که در بسیاری از موارد این معادلات به کمک روش های عددی حل می شوند. در سال های اخیر تلاش های بسیاری برای در نظر گرفتن عدم قطعیت در پدیده های فیزیکی انجام گرفته است. این تلاش ها محدود به فرض عدم قطعیت در شرایط مرزی و برخی ضرایب ثابت معادلات دیفرانسیل پاره ای است. بنابراین معادلات و روند کلی حل مانند روند کلاسیک بوده و تنها با دادن ورودی های مختلف بر اساس نظریه های آمار و احتمال، به بررسی خروجی بدست آمده می پردازند. عدم قطعیت بدلیل استفاده از روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای، بخش دیگری از عدم قطعیت ها در تحلیل پدیده های فیزیکی است. در روش های کلاسیک با این توجیه که یک معادله دیفرانسیل دارای یک جواب قطعی است، به عدم قطعیت در نتایج به عنوان خطا نگریسته شده است. در این روش ها بعد از حل عددی مسئله، با انجام برخی فرضیات به محاسبه کرانه های خطا پرداخته می شود و یا اینکه با مقایسه دو جواب از معادله، تابعی از خطا بدست می آورند. باید توجه داشت که علت استفاده از روش های عددی، عدم وجود حل دقیق است و لذا فرض وجود یک جواب دقیق اگر چه قابل قبول است، ولی باید این موضوع را نیز پذیرفت که این جواب موجود نیست. آنچه در روش های عددی مسلم است، عدم قطعیت در نتایج است و با توجه به اینکه میدان در روش های عددی بطور دقیق مشخص نیست، بنابراین بر اساس تفسیر مبتنی بر اصالت ذهن احتمال، می توان آن را یک میدان تصادفی در نظر گرفت و به این ترتیب وارد قلمرو نظریه احتمال شد. لازم به ذکر است که یکی از مهمترین ابزارهای بررسی عدم قطعیت در ریاضیات نظریه آمار و احتمال است. با این حال تاکنون هیچ تحقیقی از دیدگاه نظریه احتمال در زمینه عدم قطعیت در نتایج روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای انجام نگرفته است. در این رساله برای اولین بار به بررسی عدم قطعیت (و یا اصطلاحاً تخمین خطا) در روش های عددی از دیدگاه نظریه احتمال پرداخته خواهد شد. میان یابی، مشتق گیری و انتگرال گیری را می توان پایه های اصلی روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای دانست، بنابراین با بررسی دقیق این سه موضوع از دیدگاه نظریه احتمال، ساختار ریاضی مناسب برای بررسی روش های عددی از دیدگاه آمار و احتمال ایجاد خواهد شد. بطور خلاصه موارد زیر در این رساله مورد بررسی قرار خواهد گرفت: · در این رساله تفسیر مناسبی برای استفاده از نظریه احتمال در روش های عددی ارائه خواهد شد. برای این منظور از تفسیر مبتنی بر اصالت ذهن احتمال استفاده خواهد شد و میدان در حل معادلات دیفرانسیل پاره ای، یک میدان تصادفی در نظر گرفته خواهد شد. · ارزیابی اعتماد به میان یابی بر اساس روش کریگینگ مورد بررسی قرار خواهد گرفت و بر اساس آن یک روش جدید برای ارزیابی اعتماد به شبکه و سپس هموار کردن شبکه ارائه خواهد شد. روش ارائه شده تنها روشی است که می تواند تاثیرات تغییرات میدان، ابعاد شبکه و توابع شکل را بطور همزمان و مستقیم در هموار کردن شبکه در نظر بگیرد. · میزان اعتماد به میدان گرادیان مورد ارزیابی قرار خواهد گرفت و بر اساس آن نقاط فوق همگرا در انواع المان مورد بررسی قرار خواهد گرفت. علاوه بر آن در روش های بدون شبکه نقاط گرادیان بهینه معرفی خواهد شد. میزان اعتماد به انتگرال گیری مورد ارزیابی قرار گرفته و با کمک آن نقاط انتگرال گیری و همچنین وزن های آن بطور بهینه محاسبه خواهد شد. بنابراین یک روش انتگرال گیری منحصر بفرد بر اساس کمینه کردن خطا ارائه خواهد شد که در آن تغییرات میدان نیز در نظر گرفته می شود.کلمات کلیدی:آمار و احتمال- روشهای عددی- انتگرال گیری عددی- نقاط فوق همگرا- هموار کردن شبکه- شبکه تطبیقی