SUPERVISOR
Bijan Boroomand
بیژن برومندقهنویه (استاد راهنما)
STUDENT
Nima Noormohammadi
نیما نورمحمدی
FACULTY - DEPARTMENT
دانشکده مهندسی عمران
DEGREE
Doctor of Philosophy (PhD)
YEAR
1390
TITLE
Solution of Solid Mechanics Problems Using Equilibrated Basis Functions and Mesh-free Methods
In this thesis a new boundary point method and its variants are presented for the solution of partial differential equations (PDEs) arising in some fields of mechanics. Regarding the main shortcoming of the methods of using basis functions as the approximation series for the homogeneous solution of the equation, which is their need to a series of basis functions exactly satisfying the governing PDE, the present method tries to eliminate such a dependency by approximately satisfying the PDE in a weighted integration procedure. Motivated by the methods categorized as the fictitious domain methods, the so called integral will be evaluated over a rectangular area of much simpler shape than the main domain, leading to a possibility of decomposing the main two dimensional integrals into a combination of one variable ones in a specific order. The varying coefficients of the PDEs are another challenge that will be treated by the use of an incomplete set of monomials selected from the well-known Pascal triangle to approximately replace the so called coefficients. Second and forth order PDEs are of interest in this research and an extended patch test will be employed to investigate the selection scheme of different parameters of the method. Coming up with the most important shortcoming of spectral methods which is the problem of ill-conditioning for large scaled problems in real state physics, the method defined above will be composed by two various techniques in which the solution procedure will be extended over local subdomains that can be overlapping or non-overlapping. The second case will be focused in the extension of a domain discretization technique and the first one is used in a mesh-less local method. In the domain discretization technique the main domain will be decomposed into a number of subdomains having some interfaces along which the continuity conditions are applied up to one order less than the order of differentiation in the PDE. In the mesh-less local method the main domain will be discretized by a finite number of nodes on each the degrees of freedom are defined. Corresponding to each node is a local region in adjacency of the node that contains some other nodes by which the central node is connected, called a cloud. The method will be capable of solving problems having inhomogeneous materials in contrast to the former methods of the same style. The capability of the method in solving the PDEs with non-constant coefficients helps to improve the method to solve problems near the singular points of weak type, which means a discontinuity in the derivatives of the potential function at some (usually) boundary point. For this purpose the formulation is rewritten in the polar coordination system using a complete Fourier approximation along the angular direction. The radial direction is treated using the Chebyshev polynomials of the first kind as before. The interesting benefit of the discussed method is the independency of the approximation system to the order of the singularity according to the problem. Thus the necessity of exactly knowing the singular terms prior to the solution procedure (as is the case in most of the similar methods) is omitted. Also the future of the method can be in the solution of singular problems in inhomogeneous media, which needs the establishing of the method for homogeneous media in this research at first. Several numerical examples, mostly selected from recent papers demonstrate the abilities of the developed technique at each part. Key Words Partial differential equation, inhomogeneous materials, domain decomposition, mesh-free method, weak singularity.
در این تحقیق توسعه روش بدون شبکه بر مبنای استفاده از توابع پایه متعادل شده مد نظر است. با توجه به خاصیت روش های این رده مبنی بر ارضای صورت همگن معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی آن در دو مرحله مستقل از یکدیگر اقدام به توسعه توان روش های مذکور به منظور افزایش گستره مسائل قابل حل در عین حفظ سادگی ظاهر و کاربرد آن ها گردیده است. لازم به ذکر است که اکثر قریب به اتفاق روش های مطرح در این حیطه با تشکیل سری پاسخ همگن معادله دیفرانسیل توسط مجموعه ای از پایه های صدق کننده در عملگر معادله دیفرانسیل مرحله ارضای معادله را به طور خودکار انجام می دهند و تنها شرط باقی مانده ارضای شرایط مرزی است که در مرحله ای جداگانه انجام می شود. با این وجود نیاز به پایه های صدق کننده در معادله بازه مسائل قابل حل با این روش ها را عملا محدود به معادلات دیفرانسیل دارای ضرایب ثابت می کند. شیوه ای که در این تحقیق به کار گرفته شده است بر اساس ارضای صورت همگن معادله در فرم انتگرال وزنی است که در صورت انتخاب مناسب و سازگار پایه های حل و وزن های انتگرال مربوطه، دقت نهایی آن به خوبی روش هایی است که معادله را به طور دقیق برآورده می کنند. دو رهیافت برای پیش برد انتگرال وزنی مذکور در این تحقیق تحت عناوین فرم قوی وزنی و فرم ضعیف وزنی پیشنهاد می گردد که هر کدام از آن ها در جای خود دارای خواص مساعدی برای حل انواعی از مسائل هستند. به منظور برآورد ساده تر انتگرال وزنی مذکور با الهام از ایده روش های دامنه تصوری از دامنه ای مستطیلی که ناحیه اصلی حل را در بر می گیرد استفاده می شود. با تقریب ضرایب متغیر معادله توسط جملات غیرکامل منتخب از مثلث خیام-پاسکال و به دلیل قابلیت تفکیک کلیه پارامترهای روش به دو جزء متعامد می توان انتگرال های دوبعدی موجود را به صورت ترکیب انتگرال های یک بعدی برآورد نمود. روش مذکور که به نام روش توابع پایه متعادل شده شناخته می شود دارای ضعف عمومی موجود در کلیه روش های طیفی است که پایه های حل را به صورت پیوسته در کل دامنه حل در نظر می گیرند و آن عدم قابلیت اعمال برای مسائل بزرگ مقیاس و یا دارای شرایط خاص از نظر پیچیدگی مسئله است. از این رو پس از تکمیل فرمول بندی روش با ایده گرفتن از روش های تجزیه دامنه اقدام به توسعه یک تکنیک تفکیک دامنه سازگار با روش می گردد که با اعمال شرایط پیوستگی مناسب بین زیرناحیه های بدون همپوشانی مسئله مورد نظر را در یک گام زمانی حل می کند. ایده دیگری به منظور افزایش دامنه کاربرد روش با الهام از روش های بدون شبکه محلی نیز مطرح می شود. در این روش با گسسته سازی دامنه حل توسط تعدادی نقطه گره ای که محل تعریف درجات آزادی هستند و سپس تعریف زیرناحیه هایی تحت عنوان ابر که متناظر با هر یک از نقاط مذکور می باشند اقدام به محلی سازی بازه حل مسائل جزئی می گردد. حاصل این مسائل جزئی به واسطه برقراری شرایط پیوستگی بین زیرنواحی مذکور با یکدیگر ارتباط پیدا کرده و این ارتباط در سرتاسر ناحیه حل برقرار خواهد شد. بررسی های تحقیق حاکی از آن است که عملکرد هر دو تکنیک تفکیک دامنه و روش بدون شبکه محلی مذکور با توابع پایه معرفی شده بسیار مناسب بوده و قابلیت حل مسائلی دارای مواد غیرهمگن را نیز به واسطه ترکیب با آن پیدا می کنند. در نهایت با هدف توسعه توان روش برای حل مسائل دارای نقاطی با تکینگی ضعیف ساختار روش در دستگاه قطبی بازسازی می شود. در این حالت از بسط فوریه در راستای زاویه ای و از بسط مرسوم چبی شف در راستای شعاعی برای تقریب تابع حل استفاده می گردد. با اعمال یک تبدیل متغیر به نحوی مناسب می توان قابلیت بازسازی توابعی با ساختار موجود در خارج از بازه قابل حل توسط شیوه هموار روش را به تکنیک توسعه داده شده اضافه نمود. تبدیل مذکور به گونه ای است که ظاهر روش پس از اعمال آن با حالت قبل از آن تفاوت چندانی نداشته و سادگی کاربردش حفظ می شود. در ادامه برای افزایش قابلیت استفاده از آن می توان از ترکیب تکنیک جدید با روش های تفکیک دامنه و نیز بدون شبکه محلی که پیش تر در مورد آن ها صحبت شد استفاده نمود. سازگاری پارامترهای مختلف حل در این ترکیب می تواند توان حل مسائل دارای تکینگی ضعیف را به تکنیک های مذکور اضافه کند. در کلیه فصول برای اثبات توانایی روش از مثال های ارائه شده در مراجع معتبر و مقایسه حاصل روش حاضر با نتایج ارائه شده در مراجع مذکور استفاده شده است.