در این پایان­نامه روشی برای حل مساله انتشار موج اسکالر در عضو یک­بعدی با مقطع متغیر بر پایه روش گام ­به ­گام باقیمانده وزنی زمانی، توسعه داده شده است. از مزایای این روش عدم نیاز به المان­بندی عضو است که از ماهیت بدون شبکه آن ناشی می­شود. همچنین پیوستگی جابجایی و تنش به طور کامل در سراسر عضو برقرار خواهد بود. ایده روش گام ­به­گام زمانی، استفاده از روابط پیش­انتگرال­گیری در کنار معادلات تعادل است. در این روش شرایط اولیه به صورت دقیق و معادله تعادل با استفاده از روش باقیمانده وزنی ارضاء می­شود. از دیگر ویژگی­های این روش، ذخیره­سازی اطلاعات هر گام زمانی بر روی ضرایب توابع پایه است، به‌گونه‌ای که پیشروی حل در زمان بدون نیاز به انتخاب نقاط درون دامنه و تنها با استفاده از یک رابطه بازگشتی مناسب برای اصلاح ضرایب پایه­های نمایی انجام می­شود. در این روش، از توابع پایه نمایی برای برآورد مکانی معادله دیفرانسیل با ضرایب غیرثابت استفاده شده است. همچنین در حوزه زمان، با فرض تغییرات خطی شتاب، ابتدا توابع سرعت و جابجایی در زیر بازه nام توسط روابط پیش انتگرال­گیری مشخص می­شوند. بدین منظور ابتدا با در نظر گرفتن سختی محوری و سپس با در نظر گرفتن سختی خمشی، فرمول­بندی روش مورد نظر توسعه داده شده است. در این روش، میدان شتاب به صورت ترکیبی از یک تابع مجهول مکانی و دو دسته از توابع نمایی بیان می­گردد. سپس با جایگذاری میدان جابجایی حاصل از روابط پیش انتگرال­گیری در معادله تعادل با ضرایب غیر ثابت و ارضای وزنی آن، پاسخ معادله به دست می­آید. در ادامه تابعی با عنوان تابع تحریک معرفی می­شود که با برابر قرار دادن آن با نمو جابجایی در انتهای هرگام زمانی، ضرایب مجهول توابع پایه بدست می­آیند. شرایط مرزی نیز در انتهای هر گام زمانی و بر روی نقاط مرزی ارضاء می­شوند. با توجه به این نکته که در روش گام به گام زمانی، شرایط اولیه بازه زمانی n+1، از مقادیر سرعت و جابجایی در انتهای بازه زمانی nام تعیین می­شوند، در مرحله آخر لازم است رابطه بازگشتی اصلاح ضرایب برای پیشروی حل در زمان با برابر قرار دادن میدان جابجایی در ابتدای بازه زمانی n+1ام و انتهای بازه زمانی nام بدست آید.