مدول¬های بالابر هم-متناهی و مدول¬های بالابر ضعیف هم-متناهی

STUDENT

DEGREE

YEAR

Suppose all ring will have identities and all modules are unitary right modules. We show that for M the following are equivalent: i)Every supplement of any cofinite submodule of M is a direct summand. ii)Every finite generated supplement submodule of M is a direct summand. We prove that any direct summand of a cofinitely weal lifting module is again cofinitely weak lifting. Also any direct summand of a cofinitely lifting module is again cofinitely lifting. Also let R be a commutative local ring with maximal ideal m then M is cofinitely weak lifting if and only if M be cofinitely lifting. We show that if M be a coatomic and cofinitely weak lifting that M=? i ?I L i is an irredundant sum of local direct summands L i (i? I) of M. In the following we prove that if R be a commutative ring and M be an R-module such that M=? i ?I L i is an irredundant sum of local submodules L i (i? I) of M. Then we have M=K(M). Let M be an R-module with finite dual Goldie dimension. If M is cofinitely weak lifting (cofinitely lifting), then M=N K 1 … K n where N is a finitely generated weak lifting (lifting) submodule and K i (1? i ? n) are indecomposable radical submodule of M. Let R be a commutative ring, and let M be a R-module with are finite dual Goldie dimension. If M is cofinitely weak lifting, then M=N K 1 … K n, where N is a finite generated lifting submodule of M and K i (1? i ? n) are indecomposable radical submodule of M. Let M be a coatomic module. If M is a cofinitely weak lifting module, then M=? i ?I L i is an irredundant sum of local direct summands L i (i? I) of M. Let R be a commutative local ring with maximal ideal m. Let M be a R-module where M=L i + … L k is an irredundant sum of local submodule L i of M such that for every subset J {1…k, the sum ? j?J L j is a direct summand of M and for every two local direct summands E, F of M, the two ideal Ann R (E), Ann R (F) of R are m-comparable. Then M is lifting. Let R be a commutative local ring with maximal ideal m, and let M be a R-module . If M=? i ?I L i is an irredundant sum of local submodule L i (i? I) such that for every finite subset {i 1 , …,i n } of I, ? n j=1 L ij is a direct summand of M, and for every two local direct summands E , F of M, the ideal Ann R (E), Ann R (F) of R are m-comparable

فرض کنیم R یک حلقه یکدار و M یک R-مدول راست باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم برای R-مدول M عبارات زیر معادلند. 1) هر متمم از هر زیرمدول هم-متناهی M جمعوند M است. 2) هر زیرمدول متمم متناهی –تولیدشده M جمعوند M است. در ادامه نشان می دهیم هر جمعوند از یک مدول بالابر ضعیف هم-متناهی، بالابر ضعیف هم-متناهی است. همچنین هر جمعوند یک مدول بالابر هم-متناهی بالابر هم-متناهی است. سپس ثابت می کنیم اگر R حلقه ی جابجایی موضعی با ایده آل ماکسیمال m باشد، آن گاه R-مدول M بالابر ضعیف (هم-متناهی) است اگر و تنها اگر R- مدول M بالابر (هم-متناهی) باشد و اثبات می کنیم که هر R-مدول بالابر ضعیف هم-متناهی، هم-ذره M را می توان به صورت مجموع جمعوندهای موضعی اش نوشت. در ادامه اثبات می کنیم اگر R حلقه ی جابجایی و M یک R- مدولی باشدکه به صورت جمع کم نشدنی از زیرمدول های موضعی است، آن گاه M=K(M). همچنین نشان می دهیم برای R- مدول تجزیه ناپذیر M جملات زیر معادلند. 1) M بالابر ضعیف هم-متناهی است. 2) M بالابر هم-متناهی است. 3) M رادیکال یا موضعی است.