گراف‌های سیمپلکتیک به پیمانه‌ی pq و p^n

STUDENT

DEGREE

YEAR

Suppose $\\mathbb{Z}_{m}$ denotes the residue normal; MARGIN: 0cm 0cm 0pt" tuples $(a_{1} , a_{2} , \\cdots , a_{2\u} )$ of elements in $\\mathbb{Z}_{m}$ such that $a_{1}\\mathbb{Z}_{m} + \\ldots + a_{2\u}\\mathbb{Z}_{m} = \\mathbb{Z}_{m}$ . Define an equivalence relation $\\sim$ on $\\mathbb{Z}_{m}^{(2\u)}$ by \\[ (a_{1},\\ldots , a_{2\u} ) \\sim (b_{1}\\ldots , b_{2\u} ) \\Longleftrightarrow \\exists \\lambda\\in U(\\mathbb{Z}_{m}) , \\ \\ (a_{1},\\ldots , a_{2\u} ) = \\lambda (b_{1},\\ldots , b_{2\u} ) . \\] Write $ [a_{1},\\ldots , a_{2\u} ]$ for the equivalence normal; MARGIN: 0cm 0cm 0pt" all equivalence normal; MARGIN: 0cm 0cm 0pt" \\begin{equation*} \\mathbf{K^{(2\u)}} = \\left( \\begin{array}{cc} 0 I^{(\u)} \\\\ - I^{(\u)} 0 \\end{array} \\right) , \\end{equation*} where $I^{(\u)}$ is the identity matrix of order $\u$ . The symplectic group modulo $m$ of degree $2\u$ with respect to $K^{(2\u)}$ , denoted by ${\\rm Sp}_{2\u}(m)$ , consists of all $2\u \imes 2\u$ matrices $T$ over $\\mathbb{Z}_{m}$ satisfying $TK^{(2\u)}T^{t}=K^{(2\u)}$ . The symplectic graph modulo $m$ , denoted by ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ , is the graph whose vertex set is $\\widetilde{\\mathbb{Z}}_{m}^{(2\u)}$ and two vertices $[a_{1},\\ldots , a_{2\u}]$ and $[b_{1},\\ldots , b_{2\u}]$ are adjacent if $[a_{1},\\ldots,a_{2\u}]K^{(2\u)}[b_{1},\\ldots,b_{2\u}]^{t}\\in U(\\mathbb{Z}_{m})$ . In this thesis we study the symplectic graph ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ modulo $m$ in two cases $m=pq$ and $m=p^n$ , where $p$ and $q$ are distinct primes and $n$ is a positive integer . We show that ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ is arc transitive , in particular the the action of symplectic group ${\\rm Sp}_{(2\u)}(m)$ on ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ which defined by \\begin{eqnarray*} amamp;{\\rm Sp}^{(2\u )}_m \imes {\\rm Sp}_{2\u} (m)\\longrightarrow {\\rm Sp}^{(2\u)}_m \\\\ amamp; \\ ([x_1 , x_2 , \\ldots , x_{2\u} ] , T) \\mapsto [(x_1 , x_2,\\ldots , x_{2\u} )T] , \\end{eqnarray*} is transitive . Also we determine the suborbits of symplectic group ${\\rm Sp}_{2\u}(m)$ on ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ . Keywords: Residue ltr"

فرض کنیم $m$ یک عدد طبیعی، $ \\mathbb{Z}_{m} $ حلقه‌ی رده‌های مانده‌ای به پیمانه‌ی $ m $ و $ U(\\mathbb{Z}_{m}) $ گروه اعضای وارون‌پذیر آن باشد. برای عدد صحیح مثبت $\u$ ، $\\mathbb{ Z}_{m}^{(2\u)} $ را مجموعه‌ی همه‌ی $ 2\u $- تایی‌های $ (a_{1},\\ldots , a_{2\u} ) $ از اعضای $\\mathbb{ Z}_{m} $ درنظر می‌گیریم به طوری‌که $a_{1}\\mathbb{Z}_{m}+a_{2}\\mathbb{Z}_{m}+\\cdots +a_{2\u}\\mathbb{Z}_{m}=\\mathbb{Z}_{m}$. رابطه‌ی هم‌ارزی $ \\sim $ روی $ \\mathbb{Z}_{m}^{(2\u)} $ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم \\[ (a_{1},\\ldots , a_{2\u} ) \\sim (b_{1}\\ldots , b_{2\u} ) \\Longleftrightarrow \\exists \\lambda\\in U(\\mathbb{Z}_{m}) , \\ \\ (a_{1},\\ldots , a_{2\u} ) = \\lambda (b_{1},\\ldots , b_{2\u} ) . \\] رده‌ی هم‌ارزی شامل $ (a_{1},\\ldots , a_{2\u}) $ را با $ [a_{1},\\ldots , a_{2\u} ]$ و مجموعه همه‌ی رده‌های هم‌ارزی را با $\\widetilde{\\mathbb{Z}}_{m}^{(2\u)} $ نشان می‌دهیم. فرض کنیم \\begin{equation*} \\mathbf{K^{(2\u)}} = \\left( \\begin{array}{cc} 0 I^{(\u)} \\\\ - I^{(\u)} 0 \\end{array} \\right) , \\end{equation*} که در آن $I^{(\u)}$ ماتریس همانی از مرتبه‌ی $\u$ است. یادآوری می‌کنیم که گروه سیمپلکتیک ${\\rm Sp}_{2\u}(m)$ ، پیمانه‌ی $ m $ و از درجه $2\u$ نسبت به ماتریس $K^{(2\u)}$ مشتمل بر همه‌ی ماتریس‌های $2\u\imes 2\u$ مانند $T$ روی $\\mathbb{Z}_m$ است به طوری‌ که $TK^{(2\u)}T^{t}=K^{(2\u)}$ ، که در آن $T^t$ ترانهاده‌ی ماتریس $T$ است. گراف سیمپلکتیک به پیمانه‌ی ‌ $m$ که با ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ نشان می‌دهیم، گرافی است که رأس‌های آن مجموعه‌ی $\\widetilde{\\mathbb{Z}}_{m}^{(2\u)} $ است و دو رأس $[a_{1},\\ldots , a_{2\u}]$ و $[b_{1},\\ldots , b_{2\u}]$ مجاورند اگر و تنها اگر $[a_{1},\\ldots,a_{2\u}]K^{(2\u)}[b_{1},\\ldots,b_{2\u}]^{t}\\in U(\\mathbb{Z}_{m})$ . در این پایان‌نامه گراف سیمپلکتیک ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ به پیمانه‌ی $m$ را در دو حالت $m=pq$ و $m=p^{n}$ ، که در آن $p$ و $q$ دو عدد اول متمایز و $n$ عدد صحیح است، بررسی می‌کنیم. نشان می‌دهیم گراف سیمپلکتیک ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ ترایای کمانی است، به ویژه گروه سیمپلکتیک ${\\rm Sp}_{2\u}(m)$ به صورت ترایا روی مجموعه‌ی رأس‌های گراف ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ با تعریف \\begin{eqnarray*} amamp;{\\rm Sp}^{(2\u )}_m \imes {\\rm Sp}_{2\u} (m)\\longrightarrow {\\rm Sp}^{(2\u)}_m \\\\ amamp; \\ ([x_1 , x_2 , \\ldots , x_{2\u} ] , T) \\mapsto (x_1 , x_2,\\ldots , x_{2\u} )T \\end{eqnarray*} عمل می‌کند. در ادامه به تعیین زیرمدارهای گروه سیمپلکتیک ${\\rm Sp}_{2\u}(m)$ روی گراف ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ و تعداد رأس‌های ${\\rm Sp}_{m}^{(2\u)}$ می‌پردازیم. مقاله‌های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند. {\\latin \\begin{itemize} \\item Li , F. , Wang , K. , Guo , J . " More on symplectic graphs modulo $p^{n}$" , Linear Algebra Appl . 438 (2013) 2651-2660 . % \\item Li , F. , Wang , K. , Guo , J . " Symplectic graphs modulo $pq$" , Discrete Math . 313 (2013) 650-655 . \\end {itemize} } \oindent رده‌بندی موضوع: $\\rm{20F65}$ ، $\\rm{05B25} \\ , \\ , $ ، $\\rm{05C25} \\ , \\ , $ \\\\ کلمات کلیدی: حلقه‌ی رده‌های مانده‌ای به پیمانه‌ی $m$ ، گروه سیمپلکتیک، گراف سیمپلکتیک به پیمانه‌ی ‌$m$، ترایای کمانی، زیرمدار