در این پایان‌نامه، هدف حل مسائلی است که دارای نقطه‌ی تکین در محدوده‌ی فیزیکی هستند. منظور از تکینگی، تکینگی ضعیف است. در روش‌هایی که در آن‌ها از المان بندی استفاده می‌شود، از توابعی که در دستگاه قطبی و به مبدأ نقطه‌ی تکین تعریف می‌شوند در کنار توابع چندجمله‌ای معمول که در روش اجزا محدود به کار می‌روند (جملات هموار) استفاده می‌شود. از آن‌جا که این توابع لزوماً در معادله دیفرانسیل موردنظر صدق نکرده و مرتبه‌ی تکینگی آن‌ها با مرتبه‌ی تکینگی مسئله متفاوت است، در این تحقیق، برای رفع این مشکل از توابعی استفاده می‌شود که قبلاً صورت همگن معادله دیفرانسیل مورد نظر را ارضا کرده باشند و بتوانند مرتبه‌ی تکینگی مسئله را تشخیص دهند. به همین دلیل در فصل سوم این تحقیق روش توابع پایه ی متعادل شده به‌طور خلاصه توضیح داده شده است. توابع پایه‌ی متعادل‌شده ی به‌کاربرده شده در این تحقیق، از پایه‌های اولیه‌ای که از آن‌ها برای ارضای تقریبی معادله به‌صورت انتگرال وزنی استفاده شده‌اند به دست می‌آیند. این پایه‌ها از ضرب چندجمله‌ای‌های چبی‌شف در راستای شعاعی و توابع مثلثاتی در راستای زاویه‌ای تشکیل می‌شوند. برای تشخیص مرتبه‌ی تکینگی مسئله نیز از یک تغییر متغیر استفاده می‌شود. توابع وزن مورد استفاده نیز در راستای شعاعی به شکل نمایی و در راستای زاویه‌ای به شکل توابع مثلثاتی است. در فصل چهارم نیز از توابع پایه‌ی متعادل و تغییر متغیر داده شده به‌عنوان جملات جدید در کنار چندجمله‌ای‌های معمول اجزا محدود برای ساخت توابع شکل جدید استفاده می‌شود. این توابع شکل جدید در المان شامل نقطه‌ی تکین یا چند المان مجاور این نقطه به کار می‌روند. در بخش مثال‌های عددی این فصل نیز مسائلی که دارای جواب دقیق هستند با استفاده از روش حاضر و روش اجزا محدود، حل‌شده و باهم مقایسه می‌شوند.
