در این پایان نامه، پس از تعمیم مفهوم احاطه سازی روی دسته ای از دنباله های همگرا به صفر، شرایطی بر روی ماتریس بی نهایت بعدی P را بررسی می کنیم به گونه ای که برای هر ? و ?، ? P توسط ? به طور قوی احاطه شود. مشاهده می کنیم که برخلاف حالت متناهی که برای هر ماتریس تصادفی دوگانه و هر ، x P توسط x احاطه می شود، در حالت نامتناهی چنین اتفاقی نمی افتد. حتی با بیان مثالی مشاهده می کنیم که برای ماتریس های تصادفی متعامد نیز این خاصیت لزوماٌ برقرار نمی باشد. اما قضیه ی زیر را که به قضیه ی هورن معروف است ثابت می کنیم. ماتریس تصادفی متعامد Q موجود است به گونه ای که ?Q= ? اگر و تنها اگر : 1. در حالتی که ، . 2. در حالتی که ، . همچنین قضیه ی زیر را که به قضیه ی شور- هورن معروف است به عنوان کاربردی از قضیه ی هورن برای عملگرهای فشرده و مثبت ارائه خواهیم کرد. عملگر مثبت و فشرده ی A با لیست مقادیر ویژه ی ? و عناصر قطری ? موجود است اگر و تنها اگر: 1. در حالتی که ، . 2. در حالتی که ، .