Skip to main content
SUPERVISOR
Azam Etemad dehkordy,Mansour Aghasi
اعظم اعتماددهکردی (استاد راهنما) منصور آقاسی (استاد مشاور)
 
STUDENT
Ayob Almasi
ایوب الماسی

FACULTY - DEPARTMENT

دانشکده ریاضی
DEGREE
Master of Science (MSc)
YEAR
1390
Differantial geometry of ruled surfaces has been studied in classical geometry using various approaches. In 1936 Plass studied ruled surface in E 4 . In the present study we consider ruled surfacs imbedded in the Euclidean space of four dimension. For this purpose, we calculate the Gaussion and mean curvature of ruled surfacs in the Euclidean space of four dimension, and give some special example of ruled surface in E 4 . We explain some geometric properties of this surfaces in E 4 . For this purpose we introduce the coefficients of the first and second fundamental form. We also introduce the Chritoffel symbles of ruled surface in the E 4 . A ruled surface M in the Euclidean space of four dimension E 4 maybe considered as a surface that generated by a vector moving along a curve. We say that a surface in E n is minimal, if its mean curvature vanishes identically, so we show that the only minimal ruled surfaces in E 4 are those of E 3 , namely the right helicoid. We derive the Ferent fram in E 4 and calculate the Gaussion curvature for ruled surfaces. With an arthonormal basis of the tangent spase T p M at point in p ? M, we define the unit vector of the normal section. We also define the ellipse of curvature. Functions associated to the coefficients of the second fundamental form expresse the point p of ruled surface in E 4 inside, outside or is on ellipse of curvature. We also, show that the origin p of N p M is non-degenerate and lies on the ellipse of curvature. The characterization of point in the surface as elliptic, parabplic, hyperbolic point, and the inflection point, are also discussed. We show that ellipse of curvature can be degenerate into a line segment or a point. Using of the difinition of the ellipse of curvature we define superconformal surface as the surface for which ellipse of curvature is a circle. We also, give a necessary and sufficient condition for a ruled surface in E 4 to be superconformal. In 1973 B.Y.Chen defined the allied vector a(v) for a normal vector field v. In particular, the allied mean curvature vector filed a(H) of the mean curvature H is a well- defined normale vector filed orthogonal to H. We define A-submanifold where the allied mean vector a(H) vanishes identically. Furtheermore, A-submanifolds are also called Chen submanifolds. In 1980 Rouxel considered ruled surface in E 4 . He also, give a necessary and sufficient condition for a ruled surface in E n (n 3) to be a Chen surface. We show that if a ruled surface is non-minimal superconformal then it is a Chen surface. We also express another condition in whiche its ellipse of curvature is a circle. We define superminimal surface in E 4 as a surface which is minimal and has circular ellipse of curvature. Finally we introduce two maps that parameterize a superconformal surface at regular points and provide an explicit construction of any simply connected superconformal surface in E 4 that is free of minimal and umbilical points.
در این پایان‌نامه به بررسی رویه‌های خط کشی‌شده می‌پردازیم که در فضای اقلیدسی با بعد چهار نشانده شده‌اند. برای این منظور انحنای گاوسی و انحنای متوسط یک رویه پارامتری‌شده در فضای اقلیدسی با بعد چهار محاسبه و مثال ویژه‌ای از رویه خط کشی‌شده در ارائه خواهد شد. بعلاوه نشان داده می‌شود که تنها رویه‌های خط کشی‌شده مینیمال در همان تعمیم رویه‌های خط کشی‌شده در ، یعنی رویه‌های مارپیچی راستگرد هستند. در ادامه کنج فرنه در فضای مشخص و انحنای گاوسی برای چند رویه‌ی پارامتری شده محاسبه می‌شود. همچنین روابطی بیان خواهند شد که توسط آنها تعیین می‌شود که نقطه‌ی p از رویه‌ی خط کشی‌شده در داخل، خارج و یا روی بیضی انحنا قرار دارد. به علاوه باتوجه به تعریف بیضی انحنا تعریفی برای رویه‌های ابرهمدیس ارائه می‌شود و شرط لازم و کافی برای اینکه رویه‌ی پارامتری شده، ابرهمدیس باشد اثبات خواهد شد. همچنین شرط لازم و کافی برای اینکه رویه خط کشی‌شده در (n 3) یک رویه چن باشد بیان می‌شود. در انتها شرط دیگری ارائه می‌شود که در آن بیضی انحنا دایره شود و یک رویه ابر همدیس مشخص می‌شود. واژه‌های کلیدی: رویه‌های خط‌ کشی شده در فضای چهار بعدی اقلیدسی، انحنای گاوسی و متوسط، رویه‌ی مینیمال، بیضی انحنا، ابرهمدیس، رویه‌ی چن.

ارتقاء امنیت وب با وف بومی