فارسی: در این پایان نامه ، عملگر نیم تصادفی دوگانه، عملگری بین عملگرهای تصادفی دوگانه و تصادفی ستونی، معرفی و از آن برای مشخصه سازی عملگر $S$ روی فضای $l^1$ بطوریکه $Sf$ توسط $f$ برای هر $f\\in l^1$ احاطه شود استفاده شده است. همچنین چند کلاس از عملگرهای خطی نگهدارنده احاطه سازی روی $l^1$ برمبنای عملگرهای نیم تصادفی دوگانه ارائه شد. علاوه بر این ، به عنوان کاربرد نتایجمان در فیزیک کوانتومی، تبدیل حالتهای خالص یک سیستم ترکیبی کوانتومی توسط عملیات موضعی و ارتباطات کلاسیک بررسی شد. سپس با استفاده از عملگر نیم تصادفی دوگانه، مفهوم احاطه سازی به فضای تمامی توابع انتگرال پذیر روی فضای اندازه $\\sigma$-متناهی تعمیم داده شد. همچنین، ما عملگر های تصادفی یا مارکوف رابررسی کردیم و اثبات کردیم که در فضای با بعد متناهی، هر عملگر تصادفی می تواند با دنباله ای از عملگرهای انتگرالی تصادفی تقریب زده شود. همچنین تعدادی از نتایج برای توابع برداری مقدار روی فضای $L^1$ ، همراه با اثبات های ساده تری نسبت به دیگر مراجع جمع آوری شده است. به ویژه، رابطه دوطرفه احاطه سازی ماتریسی و احاطه سازی چند متغیره در $\\mathbb{R}^n$ بررسی شد. این ارتباط در $\\mathbb{R}$ با نامساوی توابع محدب معادل است.