Skip to main content
SUPERVISOR
صفیه محمودی (استاد راهنما) افشین پرورده (استاد راهنما) رسول نصراصفهانی (استاد مشاور) احمدرضا سلطانی (استاد مشاور)
 
STUDENT
Neda Mohammadi Jouzdani
ندا محمدی جوزدانی

FACULTY - DEPARTMENT

دانشکده ریاضی
DEGREE
Doctor of Philosophy (PhD)
YEAR
1391

TITLE

Some Topics on Periodically Correlated Functional Processes
Functional data can be viewed as high dimensional data (infinite dimensional data in some cases) in the sense that each functional object consists of a large number (among infinitely many) measurements. In dependent case, unavoidable serially dependence, interpreted as between curve dynamics, suggests to study functional random processes assuming some stationarity property. Periodically correlated processes, as a natural generalization of stationary processes, play a crucial role in describing random phenomenon which exhibit some periodic behavior. The pollution, traffic, temperature, and financial time series, for example, suggest weekly, monthly, etc. behavior. In this study, we develop the functional version of the spectral representation of random time series, and also investigate autoregressive equations with functional solutions concerning some periodic behavior. \\\\ In more detail, first part of our study prepares a spectral representation of periodically correlated processes based on a method developing functional principal components. In this way, we provide an inversion formula to reconstruct the original data with some optimality property. We also implement our approach on a real data set employing a custom build \\verb|R| package called \\verb|pcdpca|. This practical implementation as well as two simulation studies show our method outperforms the existing methods. \\\\ In the second part, we present necessary and sufficient condition for existing a unique strictly periodically correlated solution to the autoregressive equation of order one, without moment conditions. The moving average representation and limiting distribution of the solution are also investigated. Moreover, we provide condition under which the autoregressive equation of order one admits a weakly periodically solution. The condition is simpler than what is stated in previous studies. Finally, we extend our results to case of the autoregressive equatio with finite order.
حضور روز افزون داده‌هایی با ماهیت پیچیده و در حقیقت با ابعاد بالا و گاه بی‌نهایت، ما را به سمت مطالعه‌ی آنالیز داده‌های تابعی سوق می‌دهد. در این بین عدم استقلال و یا به بیان بهتر وجود همبستگی سریالی مسئله‌ای است که به وضوح در بسیاری از پدیده‌های تصادفی به چشم می‌خورد و ما را ناگزیر از مطالعه‌ی فرایندهای تصادفی تابعی می‌نماید. در این رساله فرایندهای تصادفی تابعی با خصیصه‌ی تناوب و نقش غیر قابل انکار آن‌ها در توصیف و مدل‌سازی پدیده‌های تصادفی مورد توجه ویژه‌ای قرار گرفته‌است. نتایج این رساله در خصوص این امر به دو قسمت عمده تقسیم می‌شود. \\\\ قسمت اول معطوف به یافتن روشی صحیح برای تحلیل مؤلفه‌های اصلی فرایندهای متناوب همبسته ضعیف می‌باشد. فرمول معکوس برای بازسازی فرایند اولیه و اثبات بهینگی آن از جمله نتایج این روش تحلیل است. در این بررسی‌ها با طراحی بسته \\verb|pcdpca| در نرم‌افزار \\verb|R| به تحلیل داده‌های حاصل از مطالعاتی در زمینه‌ی ترافیک و آلودگی هوای شهری در اتریش پرداخته و بدین وسیله برتری روش گفته‌شده نسبت به روش‌های پیشین مورد تایید قرار گرفته‌است. نتایج حاصل از تحیل دو مجموعه داده شبیه‌سازی‌شده نیز از دیگر شواهد این امر هستند. روش تحلیل مؤلفه‌های اصلی به خودی خود از منظر کاهش بعد داده‌ها و جداسازی متغیرها از ارزش زیادی برخوردار است. این روش از سویی دیگر نمایشی طیفی از فرایندهای تصادفی تابعی متناوب همبسته در اختیار قرار می‌دهد که بر ارزش آن می‌افزاید؛ چراکه در برخورد با بسیاری از پدیده‌های تصادفی همچون نور، صدا و ... نمایش طیفی نمایشی طبیعی‌تر و حاوی اطلاعات بیش‌تر است. \\\\ در قسمت دوم تحقیق حاضر، با اطلاع از کاربردهای موفقیت‌آمیز مدل‌های خودبازگشتی مرتبه‌ی اول در مدل‌سازی و توصیف پدیده‌های تصادفی به مطالعه‌ی بیش‌تر اینگونه معادلات می‌پردازیم. شرایط لازم و کافی برای وجود جواب متناوب همبسته اکید چنین معادلاتی در فضای باناخ جدایی‌پذیر دلخواه، یکتایی جواب موجود، نمایش میانگین متحرک و صورت‌های گوناگونی از قضیه حد مرکزی از جمله نتایج مطالعات این قسمت می‌باشد. علاوه برآن، به دنبال نتایج پیشین در این زمینه، موفق به طرح شرایط ساده‌تری برای وجود جواب چنین معادلاتی در ارتباط با کلاس دیگری از فرایندهای متناوب همبسته می‌باشیم. در پایان تعمیمی از نتایج حاضر به معادلات خودبازگشتی مرتبه متناهی ارائه شده‌است.

تحت نظارت وف ایرانی