Skip to main content
SUPERVISOR
Keivan Aghababaei samani,Farhad Shahbazi
کیوان آقابابائی سامانی (استاد راهنما) فرهاد شهبازی دستجرده (استاد مشاور)
 
STUDENT
Fateme Aghaei
فاطمه آقائی ابچویه

FACULTY - DEPARTMENT

دانشکده فیزیک
DEGREE
Master of Science (MSc)
YEAR
1389

TITLE

Stability of Synchronous State in Networks of Chaotic Systems
Ordinary differential equations are introduced as continuous-time dynamical systems at the begining of the thesis. Distinction of fixed points and their stability are necessary steps for determining behavior of systems. There are two types of ordinary differential equations: linear and nonlinear. Most nonlinear differential equations are not solved analytically. Linear systems can be broken down into parts, then each part can be solved separately and finally recombined to obtain the answer but nonlinear systems cannot, it is the main difference between linear and nonlinear systems. We have tried to use a geometrical method for studying of qualitative behavior of linear systems in phase space. Then the method have been expanded to nonlinear systems for determine their behavior near the fixed points to find general scheme in phase space. In addition numerical methods are used to show oscillators' trajectories in phase space. After that chaotic dynamical systems are described. These oscillators have strange attractors, they are very sensitive in initial conditions and their irregularities are because of their nonlinear dynamics without any random term in their equations. A system can include the features when it has at least one negative Lyapunov exponent and one positive Lyapunov exponent. Therefore continuous- time chaotic oscillators are three dimensional at least. Then we have studied synchronization of chaotic oscillators as a collective behavior and have shown that the oscillators could be coupled in networks. We can define time average between similar events as average period of a chaotic oscillator and phase is defined corresponding their trajectories (zero Lyapunov exponent) in phase space. When oscillators affect on each other in networks, a simplest way to quantify coherence in a networks is to use order parameters. At last stability of complete synchronization in networks of chaotic systems is studied. In the synchronous suace that is termed synchronization manifold, oscillators' dynamical variables are equal. Synchronization can be observed in physical universe if the manifold be stable with respect to perturbations in the transverse suace. The Master Stability Function (MSF) that is the largest transverse Lyapunov exponent of the synchronization manifold, measures the exponential rate of an infinitesimal perturbation in the transverse suace. A necessary condition for synchronization to occur is that the MSF be negative and corresponding normalized coupling parameters fall in the negative region of the MSF. Previously stability of complete synchronization has been studied for networks that summation of elements of each coupling matrix's row is zero. We have proved complete synchronization can be stable in networks that summation of elements of each coupling matrix's row is constant, then we have used MSF method for these types. Keywords: Dynamic, Chaos, Synchronization, Synchronization manifold, Normalized coupling parameters, Master Stability Function.
در این مطالعه پس از معرفی سیستم های دینامیکی، به بررسی معادلات دیفرانسیل عمومی می پردازیم و نشان می دهیم تعیین نقاط ثابت و نوع پایداری آن ها، چگونه به تشخیص رفتار این سیستم ها می انجامد. معادلات دیفرانسیل به دو دسته ی خطی و غیرخطی تقسیم می شوند. معادلات دیفرانسیل خطی می توانند به بخش هایی تفکیک شوند که جواب کلی سیستم، از ترکیب جواب های بخش های آن حاصل می شود. این نوع معادلات دیفرانسیل به روش تحلیلی حل می شوند، در صورتی که معادلات دیفرانسیل غیرخطی حل تحلیلی ندارند. با این وجود از یک شیوه ی تصویری در بررسی سیستم های خطی استفاده می کنیم که رفتار کیفی آن ها را در فضای فاز نشان می دهد. با تعمیم این شیوه به سیستم های غیرخطی و تعیین رفتار سیستم در نزدیکی نقاط ثابت این سیستم ها، رفتار کیفی این سیستم ها مشخص می شود، اما برای شناخت بیشتر این سیستم ها استفاده از روشهای عددی تنها راه ممکن است. بعد از آن به نوسانگرهای دینامیکی آشوبناک که با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می شوند، می پردازیم. این نوسانگرها، رباینده ی شگفت دارند و شدیداً به شرایط اولیه حساسند. یک سیستم در صورتی می تواند این ویژگی ها را از خود نشان دهد که دست کم یک نمای لیاپانف منفی و یک نمای مثبت داشته باشد. بنابراین نوسانگرهای آشوبناک زمان-پیوسته دست کم سه بعدی هستند. در ادامه به همگام سازی نوسانگرهای آشوبناک به عنوان یک رفتار جمعی می پردازیم و خواهیم دید نوسانگرهای آشوبناک نیز وقتی در یک شبکه با هم جفت شوند، می توانند هم آهنگ، هم فاز و حتی منطبق با هم تحول یابند. دوره تناوب همه ی نوسانگرهای آشوبناک را می توان با میانگین گیری از فاصله ی زمانی دو واقعه ی مشابه به دست آورد، در صورتی که فاز را برای هر نوسانگر آشوبناک با توجه به مسیر آن نوسانگر در فضای فاز تعریف می کنیم. بررسی پایداری همگام سازی در شبکه ای از نوسانگرهای آشوبناک، بخش اصلی این مطالعه است. اگر اختلال از خمینه ی همگام سازی کاهش یابد، همگام سازی پایدار و اگر رشد کند، ناپایدار است. بزرگ ترین نمای لیاپانف ناشی از دینامیک اختلال از خمینه ی همگام سازی که تابع پایداری اصلی نام دارد، می تواند چگونگی تحول اختلال را تعیین کند. اگر مقدار تابع پایداری اصلی به ازای تمام ویژه مقادیر ماتریس جفت شدگی منفی شود، همگام سازی پایدار و در غیر این صورت همگام سازی ناپایدار است. پیش از این پایداری همگام سازی کامل برای شبکه هایی که جمع عناصر روی هر سطر آن ها صفر است، بررسی شده است. نشان می دهیم که پایداری همگام سازی فقط در شبکه هایی امکان پذیر است که جمع مقادیر عناصر روی هر سطر آن ها مقدار ثابتی باشد. سپس روش محاسبه ی تابع پایداری اصلی را برای شبکه هایی که جمع مقادیر روی هر سطر آن ها مقدار غیر صفر است به کار می بریم. کلمات کلیدی: دینامیک، آشوب، همگام سازی، خمینه ی همگام سازی، پارامتر جفت شدگی بهنجار، تابع پایداری اصلی.

ارتقاء امنیت وب با وف بومی