حلقه ها و مدول های قویا FI-توسیعی

STUDENT

DEGREE

YEAR

In this thesis we present an expanded account of " Modules with Fully Invariant Submodules Essential in Fully Invariant Summands " based on an article by Gary F. Birkenmeier, Jae Keol Park , S. Tariq Rizvi (2002).Recall a submodule K of M is called fully invariant if ?(K)? K for all ? I End R (M). Many distinguished submodules of a module are fully invariant (e.g., the socle, the Jacobson radical, the singular submodule, the torsion rasubmodule etc.). Furthermore, the fully invariant submodules of an injective module are quasi-injective. Observe that the fully invariant submodules of R are exactly the ideals of R. A module M is called (strongly) FI-extending if every fully invariant submodule is essential in a (fully invariant) direct summand. M is an extending or CS module if every submodule is essential in a direct summand. The FI-extending modules is properly contained in the FI-extending modules.In this thesis we investigate the strongly FI-extending modules. Although the FI-extending modules and the sub examples that they are incomparable. However the FI-extending modules shares certain properties with the extending modules which may not hold for the modules. For example both the modules and the summands which may not be true in the modules. In this thesis we show that for nonsingular (more generally, non-Msingular) modules and for semiprime rings the FI-extending and strongly FIextending conditions are equivalent. Every direct summand of a strongly FI-extending module is strongly FI-extending. Although a direct sum of FI-extending modules is FI-extending,an arbitrary direct sum of strongly FI-extending modules is not necessarily strongly FI-extending. The right strongly FI-extending property is a Morita invariant property. We also show that the endomorphism ring of a free strongly FI-extending module is right strongly FIextending. Other examples of strongly FI-extending modules and rings are: uniform modules, semisimple modules, prime ring. For a submodule X of M, X c and X£ ? M denote the an essential closure of X in M, and X is a direct summand of M,

زیرمدول K ازM را تماما پایا گوییم اگر برای هر ? عضو (M)End R ، (K)? زیرمجموعه K باشد. از جمله زیر مدول های تماما پایا ، زیر مدول های تکین می باشند و هر زیر مدول تماما پایا از یک مدول تزریقی ، شبه- تزریقی می باشد. زیر مدول های تماما پایای حلقه R به عنوان R-مدول دقیقا ایدال های R می باشند. مدول M را قویا FI-توسیعی می نامند اگر هر زیر مدول تماما پایای M در یک جمعوند تماما پایا، اساسی باشد در این پایان نامه به خواص این مدول ها پرداخته می شود. مدول M را توسیعی گوییم اگر هر زیر مدول آن در یک زیر مدول جمعوند M اساسی باشند. کلاس مدول های قویا FI- توسیعی شامل مدول های FI –توسیعی می باشد. کلاس مدول ها ی قویا FI –توسیعی و توسیعی زیر کلاسی از مدول های FI –توسیعی می باشد. بعضی خواص مدول ها که برای مدول های قویا FI –توسیعی و توسیعی برقرار است ممکن است برای مدول های FI –توسیعی برقرار نباشد. مثالی از یک مدول FI –توسیعی ارائه می دهیم که قویا FI –توسیعی نباشد. نشان می دهیم شرط قویا FI-توسیعی و FI-توسیعی یرای حلقه های نیم اول و مدول های ناتکین معادل است و هر زیر مدول جمعوند یک مدول قویا FI –توسیعی ، قویا FI-توسیعی می باشد. برخلاف مدول های FI-توسیعی ، مجموع مستقیم مدول های قویا FI- توسیعی ، لزوما قویا FI-توسیعی نیست. ویژگی قویا FI-توسیعی برای حلقه R یک خاصیت موریتا پایا است. همچنین نشان می دهیم حلقه درون ریختی از یک مدول قویا FI-توسیعی ، قویا FI-توسیعی می باشد. از جمله حلقه ها و مدول های قویا FI- توسیعی ، مدول های یکنواخت و مدول های نیم ساده و حلقه های اول می باشد. کلمات کلیدی : زیر مدول اساسی ، زیر مدول جمعوند ، تماما پایا ، مدول توسیعی ، مدول قویا FI-توسیعی

SUPERVISOR

STUDENT

FACULTY - DEPARTMENT

DEGREE

YEAR

TITLE