Skip to main content
SUPERVISOR
Mohammad-Reza Vedadi,Mansour Aghasi
محمد رضا ودادی (استاد مشاور) منصور آقاسی (استاد راهنما)
 
STUDENT
Hamid Reza Nemati
حمید رضا نعمتی

FACULTY - DEPARTMENT

دانشکده ریاضی
DEGREE
Doctor of Philosophy (PhD)
YEAR
1389

TITLE

Torsion Free and Absolutely Pure Sheaves
In algebraic geometry we study schemes as main objects . One of the most important tools in this way is to use cohomology . One can compute cohomology in a few different manners , one of them is by using derived functors . Based on a result in category theory , every object in an abelian category $\\mathcal{C}$ has an injective envelope . So every object in such a category has an injective resolution which can be used to compute cohomology . Since the category of quasi-coherent sheaves on a scheme $X$ is an abelian category , every quasi-coherent sheaf has an injective envelope . Dually we expect that every object in such a category has a projective cover , but there exists categories with no projective object except zero . Hence this expect does not occur . Edgar Enochs by noticing to treatments of flat modules asked about the existence of flat covers for every $R$-module (called Flat Cover Conjecture denoted by FCC) . This conjecture is proved in 2001 . Since in the category of quasi-coherent sheaves , $\\mathfrak{Qco}(X)$ there does not exist enough projective in general , and since quasi-coherent sheaves on a scheme play the role of modules over a ring , the study of FCC came in progress . The conjecture was proved by Enochs and Estrada in 2005 . Based on a dual relation between flat modules and absolutely pure modules , we decided to study absolutely pure modules . A part of this thesis is devoted to study these objects in $\\mathfrak{Qco}(X)$ . It is proved that over a locally coherent scheme $X$ , this class of quasi-coherent sheaves is a covering class . Also a dual relation between flat and absolutely pure sheaves is shown . Moreover , by noticing to the close relation between $\\mathfrak{Qco}(X)$ and ${\\rm Rep}(Q)$ where $Q$ is a quiver associated to scheme $X$ , we have tried to study absolutely pure representations . Some expected results about absolutely pure representations is presented . In the other part of the thesis the class of torsion free quasi-coherent sheaves is considered . It is proved that this class of quasi-coherent sheaves over an integral noetherian scheme is a covering class . Also the structure of torsion free covers of quasi-coherent sheaves over such a scheme is characterized .
کار اصلی هندسه‌ی جبری به شیوه‌ی مدرن مطالعه‌ی طرح‌ها است. یکی از ابزارهای مهم در این راه استفاده از کوهومولوژی است. یکی از راه‌هایی که می‌توان با آن کوهومولوژی تعریف نمود، استفاده از تابعگون‌های مشتق‌شده است. بنابر نتیجه‌ای در بحث رسته‌ها هر شی‌ای در یک رسته‌ی آبلی C یک پوش تزریقی دارد. بنابراین هر شی در چنین رسته‌ای یک تحلیل تزریقی دارد که می‌توان از آن استفاده کرد تا نوعی کوهومولوژی تعریف نمود. از آنجا که رسته‌ی بافه‌های شبه منسجم روی یک طرح X یک رسته‌ی آبلی است پس هر شی در این رسته پوش تزریقی دارد. به صورت دوگان انتظار داریم که هر شی در یک رسته‌ی آبلی یک پوش تصویری نیز داشته باشد، اما رسته‌هایی وجود دارند که در آنها به جز صفر شی تصویری دیگری وجود ندارد و درنتیجه این انتظار محقق نمی‌شود. ایناکس با توجه به رفتارهای مدول‌های یکدست حدس وجود پوشش یکدست برای R- مدول‌ها را به عنوان دوگان پوش‌های تزریقی مطرح نمود. در سال ???? این حدس به اثبات رسید. با توجه به اینکه در رسته‌ی بافه‌های شبه منسجم به طور کلی به اندازه‌ی کافی شی تصویری وجود ندارد و با توجه به اینکه بافه‌های شبه منسجم روی یک طرح نقش R- مدول‌ها روی یک حلقه را بازی می‌کنند، بررسی حدس وجود پوشش یکدست در این رسته طبیعی به نظر می‌رسد. در سال ???? این حدس به اثبات رسید. با توجه به رابطه‌ی دوگانی بین مدول‌های یکدست و مدول‌های مطلقا محض، اندیشه‌ی بررسی بافه‌های مطلقا محض طبیعی به نظر می‌رسد. یک بخش از این رساله به مطالعه‌ی این کلاس از بافه‌ها اختصاص یافته است. نشان داده شده است که روی یک طرح منسجم این کلاس از بافه‌ها یک کلاس پوششی و یک کلاس پوش است. همچنین رابطه‌ی دوگانی بین بافه‌های یکدست و بافه‌های مطلقا محض نشان داده شده است. از سوی دیگر با توجه به رابطه‌ی بین رسته‌ی بافه‌های شبه منسجم روی یک طرح X و نمایش‌های یک کوئیور با R -مدول‌ها، نتایج مشابهی در رسته‌ی نمایش‌های R- مدولی یک کوئیور به اثبات رسیده است. در فصل ? از این رساله سعی شده است تا بافه‌های بدون تاب مورد بررسی قرار گیرند. نشان داده شده است که کلاس بافه‌های بدون تاب روی یک طرح نوتری صحیح یک کلاس پوششی است. علاوه بر این ساختار پوشش بدون تاب بافه‌های شبه منسجم روی یک چنین طرحی مشخص شده است.

ارتقاء امنیت وب با وف بومی