SUPERVISOR
Rasoul NasrIsfahani,Sima Soltanirenani
رسول نصراصفهانی (استاد راهنما) سیما سلطانی رنانی (استاد مشاور)
STUDENT
Zohre Molaee
زهره ملائی دستجردی
FACULTY - DEPARTMENT
دانشکده ریاضی
DEGREE
Master of Science (MSc)
YEAR
1392
In this thesis, we give an expanded account of concrete and operator spaces, and their multipliers based on the works by D. P. Blecher and V. I. Paulsen (2001) and E. G. Effros and Z. J. Ruan (2000) . The theory of operator spaces is very recent. It was developed after Ruan's thesis (1988) by Effros, Ruan, Blecher and Paulsen. It can be described as a noncommutative Banach space theory. Inorder to understand operator space theory, one must have at least a passing acquaintance with the algebraic and analytic properties of matrixe, over linear spaces. We recall that a normed space E can alaways be realized as a function space; that is, a linear of bounded functions on a set S, together with the uniformnorm. By analogy, we define a concrete operator space V to be a linear space of bounded operators on a Hilbert space H. Although such a space V is normed by the operator norm, it actually inherits a more elaborate structure. Owing to the fact as an operator on H n , there is a distinguished norm on each of matrix spaces M n (V). The appropriate morphisms for this structure are the linear mappings which are completely bounded. The matrix norm charactrerization for operator spaces, was achieved by Ruan, in which he formulated the axioms M1 and M2 An operator space is a linear space V together with a matrix norm that is satisfies i M1 and M2. We study three basic results.The following result is the representation theorem. It characterizes the operator spaces in terms of their matrix norm. Owning to this result, we shall usually not distinguish between and concrete operator spaces. Representation Theorem. If V is an operator space, then there is a Hilbert space H, a concrete operator space W? B(H), and a complete isometry of V onto W. We apply the representation theorem to show that many Banach space constructions have operator space analoguos. This proposition is the alternative version of the representation theorem that is easier to use. We define some constructions such as suaces, quotients, conjugates and ... . The next result is Arveson-Wittstock-Hahn-Banach theorem or the extension theorem. It is an important generalized of Hahn-Banach theorem and is key intitial in gredient of 0cm 0cm 10pt" Extension Theorem. If V is a suace of an operator space W, and H is a Hilbert space, then any complete contraction from V to B(H) has a completely contractive extension from W to B(H). The stinespring theorem is a natural generalization of Gelfand-Naimark-Segal theorem to operator valued mappings. At final, we introduce injective operator spaces, injective operator systems and injective envelops of them. Then we recognize multipliers of operator spaces.
: نظریه‌ی فضاهای عملگری زندگی خود را حدود ?? سال پیش با مکانیک ماتریس هایزنبرگ شروع کرد. مکانیک ماتریس هایزنبرگ تأثیر فوق العاده‌ایی در علوم فیزیکی داشت. محتوای آن در بردارنده‌ی ماتریس‌های بی‌نهایت از توابع با متغیرهای وابسته به زمان است. مسئله‌ای که در اینجا پیش آمده بود این بود که ضرب ماتریس‌ها مانند ضرب توابع دارای خاصیت جابجایی نمی‌باشد. موری و فون نویمان از جمله ریاضیدانانی بودند که مجذوب مکانیک ماتریس هایزنبرگ شدند. فون نویمان به این نتیجه رسید که عملگرهای خود الحاق روی فضاهای هیلبرت شبیه ماتریس‌های هایزنبرگ عمل می‌کنند. فون نویمان اولین کسی بود که پی به اهمیت این موضوع برد و پیشنهاد داد توابع را با عملگرها جایگزین کنند و ایده‌ی نسخه‌های عملگری انتگرال را مطرح کرد. اینجا بود که زمینه‌ی جبرهای عملگری فراهم شد. فضای V را به راه‌های مختلف می‌توان نرم‌دار کرد. ولی نرم‌دار این فضا با در نظر گرفتن اینکه ماتریس‌های n × n از عملگرها روی فضای هیلبرت H مانند عملگری روی فضای هیلبرت H n هستند، باعث ایجاد ویژگی‌های جدید و ساختاری جذاب روی V می‌شود. باعث می‌شود نرم ماتریسی این فضا در دو شرط O1 و O2 صدق کند. در آنالیز تابعی کلاسیک ما با فضاهای نرم‌دار (باناخ) و نگاشت‌های خطی پیوسته سر و کار داریم ولی در آنالیز تابعی کوانتومی شده با فضاهای عملگری و نگاشت‌های خطی کاملاً کران‌دار روبرو هستیم. طی سال‌های اخیر کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام شده است. روآن در سال ???? اصول موضوعی این فضا را پایه‌گذاری کرد. فضاهای عملگری در زمینه‌های مختلف ریاضیات از جمله آنالیز هارمونیک، نظریه احتمال و آنالیز ترکیباتی کاربردهای فراوان دارد. رونده کاربردهای این فضاها را در آنالیز هارمونیک مجرد بررسی کرده است. در فصل اول این پایان نامه تعاریف، قضایا و نتایج مورد نیاز را بیان می‌کنیم. ابتدا فضاهای باناخ و فضاهای هیلبرت را در تعریف می‌کنیم و در بخش دوم مقدماتی از جبرها و جبرهای باناخ را بیان می‌نمایم. پس از آن بصورت نسبتاً جامع به مبحث –C* جبرها می‌پردازیم. مطالعه‌ی فضاهای عملگری وابستگی زیادی به دانستن مفاهیمی از -C* جبرها دارد. در پایان تعاریفی در زمینه‌ی ضربگرها روی جبرها اضافه می‌کنیمفصل دوم به ماتریس‌ها و ضرایب ماتریسی اختصاص دارد. فضای M m,n (V) را فضای ماتریس های m × n با درایه‌ها در V تعریف می‌کنیم و به بررسی ویژگی‌ها و اصول مربوط به این فضا می‌پردازیم. در این فصل یکریختی‌های بسیار مهمی بیان می‌شود که در فصل‌های بعدی به وفور از آن استفاده می‌شود. بعد از –C* جبرها پیش نیاز مطالعه‌ی فضاهای عملگری مبانی ماتریس‌ها می‌باشد. در بخش پایانی این فصل چند نرم روی فضای M m,n (V) معرفی می‌کنیم. در فصل سوم ابتدا به معرفی فضاهای عملگری واقعی می‌پردازیم سپس فضاهای نرم ماتریسی را تعریف کرده با معرفی شرایط روآن روی این فضاها، فضاهای عملگری مجرد را مشخص می‌کنیم و به این نتیجه می‌رسیم که هر فضای عملگری واقعی یک فضای عملگری مجرد است. در بخش دوم نگاشت‌های کاملاً کران‌دار را تعریف می‌کنیم و چند قضیه‌ی اساسی در رابطه با فضاهای عملگری و این نگاشت‌ها مطرح می‌نماییم. با قضیه‌ایی اساسی به نام قضیه‌ی نمایش که روآن در سال ???? بیان و اثبات کرد و قضیه‌ی زیبایی که شرط ضعیف تری را جایگزین شرط اول روآن می‌کند، این فصل را به پایان می‌رسانیم. با بیان قضیه‌ی نمایش دیگر تفاوتی بین فضاهای عملگری واقعی و مجرد وجود نخواهد داشت و فقط از نام فضاهای عملگری برای آنها استفاده می‌کنیم. در فصل چهارم برخی از ساختارهای ابتدایی و مهم فضاهای عملگری را مطالعه می‌کنیم. در بخش دوم فضاهای عملگری هیلبرت سطری و ستونی را معرفی کرده‌ایم و در خاتمه‌ی این فصل یکی دیگر از قضایای اساسی به نام قضیه‌ی آروسون-ویتستاک-هان-باناخ که به نوعی تعمیم قضیه‌ی هان باناخ روی این فضاها می‌باشد و به قضیه‌ی توسیع معروف است را مطرح می‌کنیم. فصل پنجم به معرفی سیستم‌های عملگری و در حالت خاص سیستم عملگری پولسن اختصاص دارد. این فضاها ارتباط زیادی با نگاشت‌های کاملاً مثبت دارند. این فصل در بردارنده‌ی قضیه‌ی معروف استاین اسپرینگ است که حالت کلی قضیه‌ی گلفاند-نیمارک-سگال می‌باشد و اثبات آن کمی طاقت‌فرسا است! در فصل ششم فضاهای عملگری تزریقی و سیستم‌های عملگری تزریقی را معرفی می‌کنیم و پوش تزریقی آنها را شناسایی خواهیم کرد. هامانا و روآن به‌طور مجزا در مورد این فضاها تحقیق کرده‌اند. در بخش دوم این فصل به ضربگرهای فضاهای عملگری اشاره می‌کنیم و نرم ضربگری را تعریف می‌نماییم و در قضیه‌ای رابطه‌ی ضربگرهای فضای عملگری را با پوش تزریقی آنها بررسی می‌کنیم.